Matematyka i filozofia, czyli kilka myśli o czytanej książce

241117

Przyzwyczajenie odbiera wrażliwość, zamazuje szczegóły obrazu, albo wprost oślepia. Raczej nie bywamy zdziwieni faktem możliwości matematycznego opisu cech świata, wyrażeniem równaniami zjawisk dnia codziennego, a powinniśmy. Wszak jedynie matematyczne analizy kazały Galileuszowi podważyć odruchowe i powszechne oczekiwanie niejednakowego spadania na ziemię rzeczy ciężkich i lekkich. Do dzisiaj mamy takie oczekiwanie, a wielu z nas ma nawet pewność, co dowodzi nie tylko (a może nawet nie tyle) braku fachowej wiedzy, ale i naszej nieufności do matematyki jako narzędzia poznania świata, mimo upływu ponad 300 lat od prac Newtona i powszechności stosowania jego matematycznych metod.

„Niezwykły wpływ Newtonowskich Principiów na myślenie naszych stuleci nie zasadzał się ani na doborze poszczególnych aksjomatów, ani też na rezultatach mechaniki Newtona, w rodzaju znanego wzoru: siła równa się masa razy przyspieszenie, lecz na tym, że po raz pierwszy udało się opisać matematycznie zjawiska przyrodnicze w ich przebiegu w czasie, a zatem na dowodzie, iż taki matematyczny opis przyrody jest zasadniczo możliwy.”

Werner Heisenberg, „Ponad granicami”

No właśnie, możliwy. Przypomniałem sobie swój pomiar głębokości szybu starej kopalni w Górach Kaczawskich, do którego miałem zegarek i kamień; taki pomiar jest dla mnie kresem matematycznych umiejętności, a przecież jest elementarzem (co nie przeszkadzało mi odczuwać zadowolenie z pomiaru). Cóż jednak powiedzieć o możliwościach wyliczenia biegu planet, zajrzenia w głąb gwiazd i atomu, albo powiązania czasu z przestrzenią?

„Aż bowiem do tej chwili należało do oczywistości wśród założeń przyrodoznawstwa, że przestrzeń i czas są dwoma jakościowo różnymi schematami porządkowania, formami oglądu, w których prezentuje się nam świat, ale które nie mają ze sobą bezpośrednio nic wspólnego. W każdym zaś razie czas, jak się wydawało, jest tylko jeden, wszędzie w świecie ten sam dla wszelkich istot żywych i całej materii nieożywionej.”

To słowa Heisenberga z rozdziału o Einsteinie.

Gdy bezskutecznie próbuję wyobrazić sobie przestrzeń o czterech wymiarach, czasoprzestrzeń, pocieszam się słowami samego Einsteina, który powiedział o jednym ze swoich odkryć, że też nie wyobraża sobie, jak coś takiego jest możliwe, ale tak mu wychodzi ze wzorów. Jestem więc w doborowym towarzystwie.

Jeśli już piszę o teorii względności, powiem, że wielkie wrażenie robi na mnie wzór równania masy i energii, te sławne E=mc2. Zaznaczam, nota bene, że o fizyce mniej wiem od maturzysty, więc postrzegam i reaguję jak laik. Patrzę na lewą i prawą stronę równania i mimo że nie jestem matematykiem czuję, iż to równanie otwiera nowy świat pokazując, iż energia może zamienić się w materię, a ta w energię; że wszystko, co nas otacza, jest w istocie szczególnym stanem skupienia energii. Niewyobrażalnie wielkiej energii. Dziwy tutaj się nie kończą: literka c jest symbolem szybkości światła, a to znaczy, że ta szybkość, największa możliwa do uzyskania szybkość, jest najściślej związana z masą, czyli z materią, i z energią. Jakim sposobem? Co ma jedno do drugiego? Cóż, można powiedzieć, a co ma wspólnego przestrzeń z czasem? Co szybkość z upływem czasu, a ciążenie ciał kosmicznych z kształtem przestrzeni? A przecież ma, i nasz brak możliwości wyobrażenia sobie tych powiązań dowodzi jedynie niedostatków naszego umysłu, którego umiejętności nie zostały wykształcone do zgłębiania tajników materii świata. Tym większa chwała takim ludziom jak Einstein, którzy potrafią sztucznie stworzonym narzędziem badawczym, mianowicie matematyką, świat ten badać tam, gdzie intuicja, logika i zmysły nie sięgają.

Tak, i logika. W fizyce kwantowej, nauce zajmującej się najmniejszymi i najszybszymi cząsteczkami materii, dzieją się dziwne rzeczy: obserwowana cząsteczka zachowuje się inaczej niż nieobserwowana, reakcja może wyprzedzić akcję, materia ginie albo pojawia stworzona z energii, coś może być tu i tam jednocześnie. Istne wariactwo.

„Wyobraźmy sobie atom poruszający się w zamkniętej skrzynce, rozdzielonej ścianką na dwie części. W ściance jest bardzo mały otwór, tak że atom może czasami przelecieć na drugą stronę. Zgodnie z logiką klasyczną atom może się znajdować albo w lewej, albo w prawej połowie skrzynki. Nie ma trzeciej możliwości: tertium non datur.

W teorii kwantów jednak, o ile w ogóle chcemy używać słów atom i skrzynka, zmuszeni jesteśmy przyznać, że istnieją inne jeszcze możliwości, które stanowią osobliwe kombinacje obu możliwości uprzednio danych.”

Autor pisze o tych osobliwościach teorii kwantów w rozdziale poświęconym logice (jakie pole do popisu dla logików!) i o kłopotach językowych, zwracając uwagę na fakt braku odpowiednich wyrażeń do opisu tych dziwności w naszym zwykłym, na co dzień używanym języku.

Dzisiaj w pracy przyszedł do mnie kolega prosząc o pomoc w wyliczeniu długości potrzebnych mu lin stalowych; sprawa była prosta, bo i prosty trójkąt dało się wyznaczyć, więc przypomniałem mu wzór na sumę kwadratów przyprostokątnych. Dziwnie się poczułem uświadamiając sobie, iż skorzystałem z efektu umysłowej pracy człowieka żyjącego przed tysiącleciami. Na krótką chwilę przybliżyłem się do jednego z tych ludzi, którzy od starożytności do dzisiaj, od Pitagorasa i Newtona do ułomnego geniusza Hawking’a, posługują się matematyką – niematerialnym narzędziem stworzonym przez ludzi do badania świata.

W swoich wykładach Heisenberg wiele miejsca poświęca filozofii i związkom umiłowania mądrości z nauką. Można nabawić się kompleksów czytając o jego spostrzeżeniach na temat prac wielu myślicieli starożytnych i ich powiązań ze współczesną fizyką i filozofią.

„Pomostu prowadzącego od nieuporządkowanego zrazu materiału doświadczalnego do idei dopatruje się Pauli w pewnych preegzystujących w duszy prawzorach, archetypach z roztrząsań Keplera i także współczesnej psychologii. Owych prawzorów (…) nie należy lokować w świadomości ani też odnosić do określonych idei dających się racjonalnie sformułować. Chodzi tu raczej o formy z nieświadomego obszaru ludzkiej duszy, o obrazy o dużym ładunku emocjonalnym, które nie są myślane, lecz niejako oglądane w trakcie malowania. Kiedy świadome  nam się staje jakieś nowe poznanie, wówczas uszczęśliwienie, które odczuwamy, wynika ze zgodności, jaka zachodzi pomiędzy zachowaniem zewnętrznych obiektów i takimi preegzystującymi prawzorami.”

Znalazłem słowa samego Pauliego na ten temat, pewien znany astrofizyk cytował je w swojej książce, a to znaczy, że zrobiły one wrażenie na naukowcach. Niżej zamieszczę słowa Keplera pochodzące z jego książki „Harmonia świata”; sądzę, że właśnie te mieli na myśli Heisenberg i Pauli.:

„Rozważmy teraz pytanie, jak to możliwe, że dusza – która nie angażuje się wcześniej w myślenie pojęciowe, a zatem nie posiada uprzedniej znajomości harmonijnych związków – jest zdolna do ich rozpoznania w zewnętrznym świecie (…).  Odpowiem na to, że wszystkie czyste idee, lub archetypiczne wzory harmonii, o jakich tu mówimy, z natury istnieją w tych, którzy są zdolni je uchwycić. Nie pojawiają się po raz pierwszy w umyśle wskutek procesu pojęciowego, lecz są raczej wytworem intuicji i mają charakter wrodzony.”

Chciałbym kiedyś dogłębnie zrozumieć te Keplerowskie idee, poczuć je w sobie. A może czasami czuję, tylko nie wiem, że to właśnie one?…

Książka nie jest łatwą lekturą, bo co prawda niemal nie ma w niej wzorów, jednak autor nierzadko zbytnio się rozpędza wyrażając swoje myśli w bardzo długich zdaniach z licznymi wtrąceniami. Myślę, że można było nieco inaczej je układać przy tłumaczeniu, spotyka się nie najlepsze ich konstrukcje, ale może tłumaczowi chodziło o wierność niemieckiemu oryginałowi. Dość, że książkę należy czytać uważnie i powoli, jednak zrozumienie jej treści nie wymaga specjalnej wiedzy.

Na zakończenie słowa rosyjskiego naukowca, cytowane w książce bez podania nazwiska ich autora, słowa jakże podobne do myśli, które Carl Sagan zawarł w swojej książce „Błękitna kropka”:

„Wędrujemy razem na statku kosmicznym, który od niepamiętnych czasów, krążąc wokół Słońca, zdąża wraz z nim, tą wielką gwiazdą, poprzez nieskończone przestrzenie. Nie wiemy skąd ni dokąd, ale wędrujemy razem, na tym samym statku.”

Dopisek z 281117

Niedawno miałem spotkanie z psychologiem, w czasie rozmowy poprosiłem o przykładowy opis psychicznych dolegliwości klientów. Usłyszałem historię chłopca z zespołem Downa, który potrafił dodawać, ale tylko określone, znane mu rzeczy. Policzył, że trzy patyczki i pięć patyczków to razem osiem patyczków, ale ile jest trzy dodać pięć – tego już nie potrafił.

Uświadomiłem sobie wtedy dwa fakty: że łatwo nam przychodzi przekraczać kolejne piętra abstrakcji, oraz, że jeśli tylko owe piętra mieszczą się w zakresie naszych umiejętności, po prostu ich nie zauważamy, a już na pewno nie dostrzegamy różnic. Wszak przeciętnemu człowiekowi nie robi żadnej różnicy, czy będzie dodawać patyczki, czy sam symbol, czystą umowność: liczby.

A teraz Heisenberg:

>>Utworzenie pojęcia liczby jest to już decydujący krok, przenoszący z obszaru świata bezpośrednio danego nam zmysłowo w siatkę uchwytnych racjonalnie struktur myślowych. Zdanie, że dwa orzechy i dwa orzechy dają razem cztery orzechy, pozostaje słuszne również wtedy, gdy zastąpi się słowo „orzech” przez „bochenki” lub też nazwę jakiegokolwiek innego przedmiotu. Można je więc było uogólnić i przybrać w formę abstrakcyjną:  dwa i dwa jest cztery. (…)

Liczenie było oczywiście decydującym krokiem ku abstrakcji, który pozwolił wstąpić na drogę wiodącą do matematyki i matematycznego przyrodoznawstwa.<<

„Czy w matematyce opisujemy coś obiektywnie rzeczywistego, a więc coś, co istnieje też w jakimś sensie niezależnie od człowieka, czy też matematyka jest jedynie pewną umiejętnością ludzkiego myślenia? Czy prawa, które wyprowadzamy w matematyce, mówią coś tylko o strukturach tego myślenia? (…)

(…) Trzeba się też liczyć z możliwością, że na którymś z tamtych ciał kosmicznych też są istoty, u których umiejętności myślenia abstrakcyjnego wykształciła się na tyle, że ukuły one pojęcie liczby. Jeśli tak i jeśli te istoty do swego pojęcia liczby dopisują naukową matematykę, to dojdą do dokładnie tych samych twierdzeń teorii liczb co my, ludzie. Arytmetyka i teoria liczb nie mogą z zasady przedstawiać się u nich inaczej niż u nas, ich rezultaty muszą się zgadzać z naszymi. Jeśliby więc matematyka miała być wypowiedzią o myśleniu ludzkim, to w takim razie byłaby to na pewno wypowiedź o myśleniu samym w sobie, nie tylko ludzkim. Gdziekolwiek w ogóle jest myślenie, matematyka musi w nim być ta sama.”

Oto dlaczego matematyka traktowana jest jako narzędzie do porozumienia się w obcymi cywilizacjami, jeśli na takie trafimy, oraz dlaczego uznawana jest za królową nauk.

W jej precyzji, w logice nie pozostawiającej żadnych luk czy wątpliwości, w jej uniwersalności i oszałamiającej elastyczności, tkwi coś ponadludzkiego, coś zbliżającego nas do bogów.

Przyznam się do cichutkiego marzenia: chciałbym być matematykiem.